如图,在Rt△ABC中,AD是斜边BC上的高,△ABE、△ACF是等边三角形.(1)试说明:△ABD∽△CAD;(2)连接DE、DF、EF,判断△DEF的形状,并说明理由.

问题描述:

如图,在Rt△ABC中,AD是斜边BC上的高,△ABE、△ACF是等边三角形.

(1)试说明:△ABD∽△CAD;
(2)连接DE、DF、EF,判断△DEF的形状,并说明理由.

(1)证明:∵在RT△ABC中,AD为高
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
∴△ABD~△CAD;                  
(2)△DEF为直角三角形.理由如下:
证明∵△ABE与△ACF为正三角形,
∴∠BAE=∠ACF=60°,
∵∠1=∠3,
∴∠BAE+∠1=∠ACF+∠3,
即∠EAD=∠DCF,
∵△ABD~△CAD,

AB
CA
=
AD
CD

即 
AE
CF
=
AD
CD

∴△AED~△CFD,
∴∠4=∠5,
∵∠5+∠6=90°,
∴∠4+∠6=90°,
即∠EDF=90°,
∴△DEF为直角三角形.
答案解析:(1)根据有两对角相等的两个三角形相似,证明即可;
(2)△DEF为直角三角形,首先根据等边三角形的性质证明∠EAD=∠DCF,由(1)可知
AB
CA
=
AD
CD
,即
AE
CF
=
AD
CD
,所以△AED~△CFD,利用相似三角形的性质证明∠EDF=90°即可.
考试点:相似三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
知识点:本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及直角三角形的判定,题目的综合性不小,难度中等.