在抛物线y^2=16x上求一点P,使点P到直线2x+y+6=0的距离最短,并求出最短距离
问题描述：
在抛物线y^2=16x上求一点P,使点P到直线2x+y+6=0的距离最短,并求出最短距离
答
设点p坐标(y²/16，y)，由点到直线距离公式得
d=|2(y²/16)+y+6|/√(2²+1²)
=|y²/8 +y+6|/√5
=|(1/8)(y+4)²+4|/√5
=[(1/8)(y+4)²+4]/√5
当y=-4时，d有最小值dmin=4/√5=4√5/5
此时，x=y²/16=(-4)²/16=1
点P坐标(1，-4)，最短距离4√5/5
答
设P点坐标为（x，y)
d=|2x+y+6|/√5
=|y²/8+y+6|/√5
=|y²+8y+48|/(8√5)
=|(y+4)²+32|/(8√5)
当 y=-4时 d最小，即 d=4√5/5
即 P点坐标为(1，-4)
答
设P(x,y),那么y²=16x
点P到直线的距离为
|2x+y+6|/√5
=|y²/8+y+6|/√5
=|1/8(y²+8y+16)-2+6|/√5
=|1/8(y+4)²+4|/√5
y=-4有最小值
=4√5/5
x=1
P(1,-4)