如图,四棱锥P-ABCD中PD垂直平面ABCD PD=DC=BC=1 AB=2 AB平行DC 角BCD=90° 求证 PC⊥BC

问题描述:

如图,四棱锥P-ABCD中PD垂直平面ABCD PD=DC=BC=1 AB=2 AB平行DC 角BCD=90° 求证 PC⊥BC

要证明PC⊥BC,可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面,由PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°,容易证明BC⊥平面PCD,从而得证:

证明:因为PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PD⊥BC.
由∠BCD=90°,得CD⊥BC,
又PD∩DC=D,PD、DC⊂平面PCD,
所以BC⊥平面PCD.
因为PC⊂平面PCD,故PC⊥BC.

因为PD⊥平面ABCD
所以PD⊥BC
因为∠BCD=90
所以BC⊥CD,PD交CD=D
所以BC⊥平面PCD,PC属于平面PCD
所以PC⊥BC

PD⊥ABCD,PD⊥BC
CD⊥BC
BC⊥PCD
PC⊥BC