求证:等腰锐角三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.

问题描述:

求证:等腰锐角三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.

证明:如图:△ABC是等腰锐角三角形,AB=AC,BD是腰AC上的高.
过点A作AE⊥BC于点E,
∴∠EAC+∠C=90°,
∵BD⊥AC,
∴∠DBC+∠C=90°,
∴∠DBC=∠EAC,
∵AB=AC,AE⊥BC,
∴∠EAC=

1
2
∠BAC,
∴∠DBC=
1
2
∠BAC.
答案解析:本题可通过构建直角三角形来求解.如图,过A作底边BC的垂线,那么∠EAC和∠DBC同为∠C的余角,因此这两角相等;根据等腰三角形三线合一的特点,可得出∠EAC是顶角的一半,由此可得出所求的结论.
考试点:等腰三角形的性质.
知识点:此题主要考查学生对等腰三角形性质的理解及运用;作出辅助线是正确解答本题的关键.