如图所示,海中有一座小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,B点测得小岛A在北偏东60°的方向上,航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东35°的方向上,如果渔船不改变航向,继续向东捕捞,有没有触礁的危险?

问题描述:

如图所示,海中有一座小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,B点测得小岛A在北偏东60°的方向上,航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东35°的方向上,如果渔船不改变航向,继续向东捕捞,有没有触礁的危险?

设AC=x,在Rt△ABC中,
BC=

x
tan(90°−60°)
=
x
tan30°

在Rt△ADC中,
DC=
x
tan(90°−35°)
=
x
tan55°

∵BC-DC=12,
x
tan30°
-
x
tan55°
=12,
解得x≈11.6,
∵11.6>8,
∴渔船航行没有触礁危险.
答案解析:在Rt△ABC和Rt△ADC中,根据三角函数BC,DC就可以用AC表示出来,根据BD=12海里,就得到一个关于AC的方程,求得AC.从而可以判断如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁危险.
考试点:解直角三角形的应用-方向角问题.
知识点:本题主要考查解直角三角形在实际问题中的应用,构造直角三角形是解题的前提和关键.