在△ABC中取一点O,连接AO、BO、CO成三个三角形,即△AOB、△AOC、△BOC,使三个三角形面积之比为3:5:7,点O是唯一的吗?

问题描述:

在△ABC中取一点O,连接AO、BO、CO成三个三角形,即△AOB、△AOC、△BOC,使三个三角形面积之比为3:5:7,点O是唯一的吗?

如点O在三角形内部,由燕尾定理可知此点唯一确定
燕尾定理,因此图类似燕尾而得名,是一个关于三角形的定理(如图△ABC,D、E、F为BC、CA、AB 上的点,AD、BE、CF 交于O点)。S△ABC中,S△AOB:S△AOC=S△BDO:S△CDO=BD:CD; 同理,S△AOC:S△BOC=S△AFO:S△BFO=AF:BF; S△BOC:S△BOA=S△CEO:S△AEO=EC:EA。

不是

是唯一的.证明:考察△OAB,△OAC.∵ S△OAB:S△OAC = 3:5 ,它们拥有共同的底OA∴ B到AO的距离:C到AO的距离 = 3:5∴ 用相似三角形易证,设AO的延长线与BC交于D点,则有BD:DC = 3:5即D点是BC上的一个定点,O就在直线AD上....

要找出来o很难,但可以看出三角形内部肯定有一点,外部至少有一点,o不是唯一的