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设直线过定点P（1，2）且与x、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为原点坐标，求△AOB周长的最小值．

分类: 作业答案 • 2022-07-08 00:08:19
问题描述：

设直线过定点P（1，2）且与x、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为原点坐标，求△AOB周长的最小值．

答

设三角形三个顶点坐标分别为O（0，0），A（a，0），B（0，b），其中a＞0，b＞0，
设∠OAB=α，α∈(0，

π
2
)，则：
OA=a=1+
2
tanα
，OB=b=2+tanα，
AB=
2
sinα
+
1
cosα
，
周长=OA+AB+BO=3+
2
tanα
+tanα+
2
sinα
+
1
cosα

=1+2+
2
2tan
α
2
1−tan2
α
2
+
2tan
α
2
1−tan2
α
2
+
2
2tan
α
2
1+tan2
α
2
+
1
1−tan2
α
2
1+tan2
α
2

=2+
2
tan
α
2
(1−tan
α
2
)
．
令tan
α
2
=x，x∈（0，1），则：
周长=2+
2
x(1−x)
≥2+2•(
2
x+1−x
)2＝10．
当且仅当x=1-x，即x=
1
2
时，周长取最小值10．
答案解析：设出直线在两坐标轴上的截距，再设∠OAB=α，把三角形的三边用α表示，然后利用万能公式化简，换元后由基本不等式求最值．
考试点：直线的截距式方程．
知识点：本题考查了直线的截距式方程，考查了三角函数的万能公式，训练了利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，是中档题．

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