证明:*2!……n!=的(n-1)次方/3*4(2)*……*n(n-2)
问题描述:
证明:*2!……n!=的(n-1)次方/3*4(2)*……*n(n-2)
答
首先我明确一下,题设里应该有规定N是整数且>=3的吧?
用数学归纳法:
i 当N=3时,左边=1!*2!*3!=1*2*6=12,右边=(3!)^2/3=(6^2)/3=12
左边=右边,∴成立;
ii 设当N=k时,等式1!*2!……k!=的(k-1)次方/3*4^2*……*k^(k-2)成立;
iii 当N=k+1时,左边=1!*2!……k!*(k+1)!=(k+1)!*[(k!)^(k-1)]/3*4^2*……*k^(k-2)
k!=(k+1)!/(k+1),所以等式右边的分子可以写为:
(k+1)!*[(k+!)!/(k+1)]^(k-1)=[(k+1)!]^k/(k+1)^(k-1)
因而等式右边可以整理为:
[(k+1)!] ^k/3*4^2*……*k^(k-2)*(k+1)^(k-1)
即1!*2!……k!*(k+1)!= [(k+1)!] ^k/3*4^2*……*k^(k-2)*(k+1)^(k-1)
∴当N=k+1时等式也成立.
∴得证.
注:符号说明X^Y表示X的Y次方.
另外,文本格式的编辑看上去有点乱,LZ见谅了,有看不明白的可以再问我~