表面积为144π的球内切于一个圆台(即球与圆台的上、下底面和侧面都相切),如果圆台的下底面与上底面的半径之差为5,求圆台的表面积和体积.
问题描述:
表面积为144π的球内切于一个圆台(即球与圆台的上、下底面和侧面都相切),如果圆台的下底面与上底面的半径之差为5,求圆台的表面积和体积.
答
设圆台内切球的半径为R,
则4πR2=144π,
解得R=6,
则圆台的高为12,
作出圆台的轴截面如下图所示:
∵圆台的下底面与上底面的半径之差为5,
故圆台的母线长为13,
则由切线长定理知,下底面与上底面的半径之和为13,
故圆台的上下底面半径分别为4,9,
则圆台的表面积S=π(42+92+132)=266π,
圆台的体积V=
π(42+92+4×9)=1 3
.133π 3