已知△ABC,分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE,且AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,连接DC与BE,G、F分别是DC与BE的中点.(1)如图1,若∠DAB=60°,则∠AFG=______;(2)如图2,若∠DAB=90°,则∠AFG=______;(3)如图3,若∠DAB=α,试探究∠AFG与α的数量关系,并给予证明.

问题描述:

已知△ABC,分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE,且AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,连接DC与BE,G、F分别是DC与BE的中点.

(1)如图1,若∠DAB=60°,则∠AFG=______;
(2)如图2,若∠DAB=90°,则∠AFG=______;
(3)如图3,若∠DAB=α,试探究∠AFG与α的数量关系,并给予证明.

(1)连接AG.

∵∠DAB=∠CAE,
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
∴∠DAC=∠BAE.
在△ADC和△ABE中,

AD=AB
∠DAC=∠BAE
AC=AE

∴△ADC≌△ABE(SAS),
∴DC=BE,∠ADC=∠ABE.AD=AB.
∵G、F分别是DC与BE的中点,
∴DG=
1
2
DC,BF=
1
2
BE,
∴DG=BF.
在△ADG和△ABF中,
AD=AB
∠ADC=∠ABE
DG=BF

∴△ADG≌△ABF(SAS),
∴AG=AF,∠DAG=∠BAF,
∴∠AGF=∠AFG,∠DAG-∠BAG=∠BAF-∠BAG,
∴∠DAB=∠GAF.
∵∠DAB=60°,
∴∠GAF=60°.
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°,
∴∠AFG=60°;
(2)∵∠DAB=90°,∠DAB=∠GAF,(已证)
∴∠GAF=90°,
∵AG=AF,
∴∠AFG=
1
2
(180°-90°)=45°;
(3)∵∠DAB=α,∠DAB=∠GAF,(已证)
∴∠GAF=α,
∵AG=AF,
∴∠AFG=
1
2
(180°-α);
故答案为 60°,45°,
1
2
(180°-α).
答案解析:(1)连接AG.易证△ADC≌△ABE,可得DC=BE,∠ADC=∠ABE,AD=AB,根据G、F分别是DC与BE的中点,可得DG=BF,即可证明△ADG≌△ABF,可得AG=AF,∠DAG=∠BAF,即可求得∠DAB=∠GAF,即可解题.
(2)根据(1)中结论即可求得∠AFG的值,即可解题;
(3)根据(1)中结论即可求得∠AFG的值,即可解题.
考试点:全等三角形的判定与性质.

知识点:本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等的性质,本题中求证△ADC≌△ABE和△ADG≌△ABF是解题的关键.