已知△ABC,分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE,且AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,连接DC与BE,G、F分别是DC与BE的中点. (1)如图1,若∠DAB=60°,则∠AFG=_; (2)如图2,若∠DAB=90°,则∠
问题描述:
已知△ABC,分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE,且AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,连接DC与BE,G、F分别是DC与BE的中点.
(1)如图1,若∠DAB=60°,则∠AFG=______;
(2)如图2,若∠DAB=90°,则∠AFG=______;
(3)如图3,若∠DAB=α,试探究∠AFG与α的数量关系,并给予证明.
答
(1)连接AG.
∵∠DAB=∠CAE,
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
∴∠DAC=∠BAE.
在△ADC和△ABE中,
,
AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE
∴△ADC≌△ABE(SAS),
∴DC=BE,∠ADC=∠ABE.AD=AB.
∵G、F分别是DC与BE的中点,
∴DG=
DC,BF=1 2
BE,1 2
∴DG=BF.
在△ADG和△ABF中,
,
AD=AB ∠ADC=∠ABE DG=BF
∴△ADG≌△ABF(SAS),
∴AG=AF,∠DAG=∠BAF,
∴∠AGF=∠AFG,∠DAG-∠BAG=∠BAF-∠BAG,
∴∠DAB=∠GAF.
∵∠DAB=60°,
∴∠GAF=60°.
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°,
∴∠AFG=60°;
(2)∵∠DAB=90°,∠DAB=∠GAF,(已证)
∴∠GAF=90°,
∵AG=AF,
∴∠AFG=
(180°-90°)=45°;1 2
(3)∵∠DAB=α,∠DAB=∠GAF,(已证)
∴∠GAF=α,
∵AG=AF,
∴∠AFG=
(180°-α);1 2
故答案为 60°,45°,
(180°-α).1 2