点C是直径AB=2的半圆弧上的一个动点,且AD向量//BC向量,AD=根号3AC,求四边形ABCD的面积的最大值
问题描述：
点C是直径AB=2的半圆弧上的一个动点,且AD向量//BC向量,AD=根号3AC,求四边形ABCD的面积的最大值
答
由题意知四边形ABCD中，∠ACB=90°，∠DAC=90°；
设∠CAB=α，并AB=2，有 AC=2cosα；
BC=2sinα； AD=√3AC=2√3cosα，
ABCD的面积S=S△ABC+S△DAC
=(1/2)*2cosα*2sinα+（1/2)*2cosα*2√3cosα
=2cosαsinα+2√3cos²α
=2cosα(sinα+√3cosα)，
式中sinα+√3cosα=2[（1/2)sinα+(√3/2)cosα]
=2sin(α+60°)，
∴S=4cosαsin(α+60°)
=2[sin(2α+60°)+sin60°]
=2sin(2α+60°)+√3，
可见，当α=15°时，
Smax=2+√3。
答
由题意AD垂直于AC,BC垂直于AC,
设AC=x,则AD=根号3x,BC=根号下4-x^2
四边形面积=二分之根号3x^2+二分之1x乘以根号根号下4-x^2,x的值在0到2之间
可设x=2cosa.
则面积变为2倍根号3cosa^2+2cosa*sina
=根号3*（cos2a+1）+sin2a
=根号3*cos2a+sin2a+3
=2cos（a+60）+3
因此面积最大值为5