如图,直线y=x+3与坐标轴分别交于A,B两点,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,B,顶点为C,连接CB并延长交x轴于点E,点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称. (1)求抛物线的解析式及顶点C的坐标; (2
问题描述:
如图,直线y=x+3与坐标轴分别交于A,B两点,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,B,顶点为C,连接CB并延长交x轴于点E,点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称.
(1)求抛物线的解析式及顶点C的坐标;
(2)求证:四边形ABCD是直角梯形.
答
(1)由y=x+3与坐标轴分别交于A、B两点,易得A点坐标(-3,0)、
B点坐标(0,3)
∵抛物线y=ax2+bx-3a经过A、B两点
∴9a-3b-3a=0a=-1-3a=3得:b=-2
∴抛物线解析式为:y=-x2-2x+3
∴顶点C的坐标为(-1,4)
(2)证明:∵B、D关于MN对称,C(-1,4),B(0,3)
∴D(-2,3)
∵B(0,3),A(-3,0)
∴OA=OB,
∵C(-1,4),B(0,3)
∴直线CB的解析式为:y=-x+3,
∴E(3,0),
∴OB=OE,
∴∠BEO=∠OBE=45°,
又∠AOB=90°
∴∠ABO=∠BAO=45°
∴∠ABE=90°,
∵B、D关于MN对称
∴BD⊥MN
又∵MN⊥X轴
∴BD∥X轴
∴∠DBA=∠BAO=45°
∴∠DBO=∠DBA+∠ABO=45°+45°=90°
∴∠ABC=180°-∠ABE=180°-∠DBO=90°
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=45°
∵CM⊥BD
∴∠MCB=45°
∵B,D关于MN对称
∴∠CDM=∠CBD=45°,CD∥AB
又∵AD与BC不平行
∴四边形ABCD是梯形
∵∠ABC=90°
∴四边形ABCD是直角梯形.