已知函数f（x）=x2+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（x）+2，且对于任意实数x，恒有F（x）-F（-x）=0． （1）求函数f（x）的解析式； （2）已知函数g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调递减
问题描述：
已知函数f（x）=x2+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（x）+2，且对于任意实数x，恒有F（x）-F（-x）=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知函数g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调递减，求实数a的取值范围．
答
（1）∵函数f（x）=x2+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（x）+2
∴F（x）=x2+bsinx
依题意，对任意实数x，恒有F（x）-F（-x）=0，即x2-bsinx=x2+bsinx，
∴2bsinx=0对于任意实数x都成立，∴b=0
所以f（x）=x2-2．
（2）∵g（x）=x2-2+2（x+1）+alnx，
∴g（x）=x2+2x+alnx，
g′（x）=2x+2+
．a x
∵函数g（x）在（0，1）上单调递减，
∴在区间（0，1）上，g′（x）≤0在（0，1）上恒成立．
即2x2+2x+a≤0在（0，1）上恒成立．
∴a≤-（2x2+2x）在（0，1）上恒成立．
而u（x）=-（2x2+2x）在（0，1）上单调递减
∴a≤-4．