已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x). (1)求函数g(x)的定义域; (2)若f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,求不等式g(x)≤0的解集.

问题描述:

已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1)求函数g(x)的定义域;
(2)若f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,求不等式g(x)≤0的解集.

(1)∵数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).

−2<x−1<2
−2<3−2x<2
,∴
1
2
<x<
5
2
,函数g(x)的定义域(
1
2
5
2
).
(2)∵f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,不等式g(x)≤0,
∴f(x-1)≤-f(3-2x)=f(2x-3),∴
−2<x−1<2
−2<2x−3<2
x−1≥2x−3
,∴
1
2
<x≤2,
故不等式g(x)≤0的解集是 (
1
2
,2].