已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=√2/2,直线x+y+1=0与椭圆交于P Q两点 且OP垂直OQ 求椭圆方程
问题描述：
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=√2/2,直线x+y+1=0与椭圆交于P Q两点 且OP垂直OQ 求椭圆方程
答
因为 e^2=c^2/a^2=(a^2-b^2)/a^2=1-b^2/a^2=1/2 ,
所以 a^2=2b^2 ,（1）
将 y= -1-x 代入椭圆方程得 x^2/a^2+(-1-x)^2/b^2=1 ,
两端同乘以 a^2 并注意到 a^2=2b^2 得 x^2+2(-1-x)^2=a^2 ,
化简得 3x^2+4x+2-a^2=0 ,
设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,
则 x1+x2= -4/3 ,x1*x2=(2-a^2)/3 ,
因此 y1*y2=(-1-x1)(-1-x2)=x1*x2+(x1+x2)+1=(2-a^2)/3-4/3+1 ,
由 OP丄OQ 得 x1*x2+y1*y2=0 ,
所以 2(2-a^2)/3-1/3=0 ,
解得 a^2=3/2 ,
所以 b^2=a^2/2=3/4 ,
因此,椭圆方程为 x^2/(3/2)+y^2/(3/4)=1 .