已知方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0表示一个圆．（1）求实数m的取值范围；（2）求该圆半径r的取值范围．
问题描述：
已知方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0表示一个圆．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求该圆半径r的取值范围．
答
（1）由方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0
变形得：[x-（m+3）]2+[y+（1-4m2）]2=-7m2+6m+1，
当且仅当-7m2+6m+1＞0，即7m2-6m-1＜0时方程表示圆；
所以−
＜m＜1时，该方程表示一个圆；1 7
（2）在−
＜m＜1时，设r2=-7m2+6m+1，为开口向下的抛物线，1 7
r2=-7m2+6m+1=−7(m−
)2+3 7
16 7
∴0＜r2≤
16 7
∴0＜r≤
4 7
7
答案解析：（1）将方程化为标准方程的形式，要得到方程为圆，则方程的右边大于0，可得不等式，解之可得到m的范围．
（2）可设r2=-7m2+6m+1，在（1）求出的m的范围中，利用二次函数求最值的方法，可确定函数的值域．
考试点：二元二次方程表示圆的条件．
知识点：本题以二元二次方程为载体，考查方程表示圆的条件，考查配方法求二次函数的最值，正确配方是关键．