有关相似三角形比例的题目一个任意三角形ABC,AD是其中线BF交AD中点于点E交AC于点F求证:AF比FC等于1比2

问题描述:

有关相似三角形比例的题目
一个任意三角形ABC,AD是其中线BF交AD中点于点E交AC于点F求证:AF比FC等于1比2

延长CB到P,使BP=BD=DC
因为BD:DP=DE:DA=1:2
所以BE‖AP,即BF‖AP
所以AF:FC=PB:BC=1:2

证明:
取CF的中点M,连接DM
∵D是BC的中点
∴DM是△CBF的中位线
∴DM‖BF
∵E是AD的中点,EF‖DM
∴EF是△ADM的中位线
∴AF=FM
∴AF=FM=MC
∴AF:FC=1:2

证明:过D作DP//BF交AC于P,
∵D是BC的中点,
∴BD=DC
在三角形BCF中,P为CF的中点,
∴CP=PF
又∵E是AD的中点,
∴DE=EA
∴PF=AF
又∵CP=PF
∴CG=GF=AF
∴AF=1/2 FC
∴AF:FC=1:2