如何证明m的lg n次方等于n的lg m次方?

问题描述:

如何证明m的lg n次方等于n的lg m次方?

令x=m^(lgn)
则lgx=lgnlhm
令y=n^(lgm)
则lgy=lgnlhm
所以lgx=lgy
所以x=y
所以m^(lgn)=n^(lgm)

∵10的(lg n×lg m)次方= 10的(lg n×lg m)次方
∴(10的lg m次方)的lg n次方= (10的lg n次方)的lg m次方
∴ m的lg n次方=n的lg m次方

m^lg n=t
lgn=logmt=lgt/lgm lgt=lgmlgn
n^lgm=a
lgm=lga/lgn
lga=lgmlgm
lga=lgt
a=t

两边取对数
左边=lgm*lgn 右边lgn*lgm
所以两边相等

证明:
m的lg n次方取对数得:lg(m的lg n次方)=(lg n)(lg m)
n的lg m次方取对数得:lg(n的lg m次方)=(lg m)(lg n)
因为(lg n)(lg m)=(lg m)(lg n)
所以lg(m的lg n次方)=lg(n的lg m次方)
即m的lg n次方等于n的lg m次方得证

设y=m^(lgn)
二边取对数得:lgy=lgn*lgm=lg[n^(lgm)]
得y=n^(lgm)
即m^(lgm)=n^(lgm)