(1)一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的长,那么扇形的圆心角是多少弧度?是多少度?扇形的面积是多少?(2)一扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?

问题描述:

(1)一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的长,那么扇形的圆心角是多少弧度?是多少度?扇形的面积是多少?
(2)一扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?

(1)设扇形的圆心角是θrad,因为扇形的弧长是rθ,
所以扇形的周长是2r+rθ.依题意,得2r+rθ=πr,
∴θ=π-2=(π-2)×(

180
π
)°≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′,
∴扇形的面积为S=
1
2
r2θ=
1
2
(π-2)r2
(2)设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=20,
即l=20-2r(0<r<10)①
扇形的面积S=
1
2
lr,将①代入,得S=
1
2
(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,
所以当且仅当r=5时,S有最大值25.此时
l=20-2×5=10,α=
l
r
=2.所以当α=2rad时,扇形的面积取最大值.
答案解析:(1)设扇形的圆心角,利用弧长公式得到弧长,代入题中条件,求出圆心角的弧度数,再化为度数,利用扇形的面积公式求扇形的面积.
(2)设出弧长和半径,由周长得到弧长和半径的关系,再把弧长和半径的关系代入扇形的面积公式,转化为关于半径的二次函数,配方求出面积的最大值.
考试点:扇形面积公式;函数模型的选择与应用;弧长公式.
知识点:本题考查角的弧度数与度数间的转化,扇形的弧长公式和面积公式的应用,体现了转化的数学思想.