平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC=αOA+βOB,其中α,β∈R且α+β=1,求点C的轨迹及其轨迹方程.

问题描述:

平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足

OC
OA
OB
,其中α,β∈R且α+β=1,求点C的轨迹及其轨迹方程.

C点满足

OC
OA
OB
,且α+β=1,由共线向量定理可知,A、B、C三点共线.
∴C点的轨迹是直线AB
又A(3,1)、B(-1,3),
∴直线AB的方程为:
y−1
3−1
x−3
−1−3
整理得x+2y-5=0
故C点的轨迹方程为x+2y-5=0.
答案解析:通过点C满足
OC
OA
OB
,其中α、β∈R,且α+β=1,知点C在直线AB上,利用两点式方程,求出直线AB的方程即求出点C的轨迹方程.
考试点:轨迹方程;平面向量的基本定理及其意义.
知识点:考查平面向量中三点共线的充要条件及知两点求直线的方程,是向量与解析几何综合运用的一道比较基本的题,难度较小,知识性较强.