在三棱锥D-ABC中,DA=AB=BC=a,BD＝AC＝2^1/2a,DC=3^1/2a,AE⊥CD,AF⊥DB,证：EF⊥CD
问题描述：
在三棱锥D-ABC中,DA=AB=BC=a,BD＝AC＝2^1/2a,DC=3^1/2a,AE⊥CD,AF⊥DB,证：EF⊥CD
答
E点在CD上,F点在BD上.
1、三棱锥的侧面△DAB中,∵DA=AB=a,BD=√2a,∴△DAB是等腰直角三角形,DA⊥AB,
且DA=AB；∵AF⊥DB,∴DF=FB=√2a/2=a/√2.
2、三棱锥的侧面△DAC中,∵DA=a,AC=√2a,DC=√3a,∴△DAC是直角三角形,DA⊥AC；
∵AE⊥CD,∴△DEA∽△DAC,得DE=DA²/DC=a²/√3a=a/√3.
3、三棱锥的侧面△DBC中,∵BD=√2a,DC=√3a,BC=a,∴△DBC是直角三角形,∠DBC=90°.
∵BD=√2a,DC=√3a,DF=a/√2,DE=a/√3,那么DE/DB=DF/DC=1/√6,
∴△DEF∽△DBC,∠DEF=∠DBC=90°,故EF⊥CD.