在同一平面上有三角形ABC及一点O满足关系式：（向量）OA^2+BC^2=OB^2+CA^2=OC^2+AB^2,则O是什么心
问题描述：
在同一平面上有三角形ABC及一点O满足关系式：（向量）OA^2+BC^2=OB^2+CA^2=OC^2+AB^2,则O是什么心
答
OA
答
垂心。
OA^2+BC^2=OB^2+CA^2
(OA-OB)*(OA+OB)+(BC-AC)*(BC+AC)=0
BA*(OA+OB+BC+AC)=0
BA*(OA+AC+OB+BC)=0
2*BA*OC=0
同理，有
AC*OB=0,BC*OA=0
答
垂心
(向量)OA^2+BC^2=OB^2+CA^2
OA^2-OB^2=CA^2-BC^2
(OA+OB)(OA-OB)=(CA+BC)(CA-BC)
(OA+OB)*BA=BA(CA-BC)
BA(OA+OB-CA+BC)=0
BA(2OC)=0
即(BA)(OC)=0
因为BA、OC不为0
所以只有cosa=0
a=90度
即OC垂直BA
同理OA垂直BC
OB垂直AC
所以O为垂心