已知函数f(x)=3x2-2x,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数f(x)的图象上(1)求证:{an}为等差数列;(2)设bn=3an•an+1,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn<m20对所有n∈N*都成立的最小正整数m.
已知函数f(x)=3x2-2x,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数f(x)的图象上
(1)求证:{an}为等差数列;
(2)设bn=
,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn<3
an•an+1
对所有n∈N*都成立的最小正整数m. m 20
证明:(1)由题意得,Sn=3n2-2n,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5,
当n=1时,a1=S1=1,符合上式,
所以an=6n-5,
则数列{an}以6为公差、1为首项的等差数列;
(2)由(1)得,an=6n-5,
所以bn=
=3
an•an+1
=3 (6n−5)(6n+1)
(1 2
−1 6n−5
),1 6n+1
则Tn=
[(1-1 2
)+(1 7
-1 7
)+…+(1 13
−1 6n−5
)]1 6n+1
=
(1-1 2
)1 6n+1
因为n∈N*,所以
>0,即Tn=1 6n+1
(1-1 2
)<1 6n+1
,1 2
又Tn<
对所有n∈N*都成立,m 20
所以
≥m 20
,则m≥10,1 2
所以满足条件的最小正整数m为:10.
答案解析:(1)由题意得Sn=3n2-2n,根据“n=1时,a1=S1;n≥2时,an=Sn-Sn-1”,可求数列的通项公式,再证明数列:{an}为等差数列;
(2)由(1)和条件求出bn,利用裂项相消法求出Tn的表达式,再由n的范围求出Tn的范围,根据不等式恒成立求出满足条件的最大正整数m的值.
考试点:数列与不等式的综合;等差数列的性质.
知识点:本题考查了数列an与Sn的关系,等差数列的通项公式,以及恒成立问题转化为求最值问题,注意等价转化思想的合理运用,试题具有一定的综合性.