已知函数f(x)=3x2-2x,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数f(x)的图象上(1)求证:{an}为等差数列;(2)设bn=3an•an+1,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn<m20对所有n∈N*都成立的最小正整数m.

问题描述:

已知函数f(x)=3x2-2x,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数f(x)的图象上
(1)求证:{an}为等差数列;
(2)设bn=

3
anan+1
,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn
m
20
对所有n∈N*都成立的最小正整数m.

证明:(1)由题意得,Sn=3n2-2n,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5,
当n=1时,a1=S1=1,符合上式,
所以an=6n-5,
则数列{an}以6为公差、1为首项的等差数列;
(2)由(1)得,an=6n-5,
所以bn=

3
anan+1
=
3
(6n−5)(6n+1)
=
1
2
1
6n−5
1
6n+1
),
则Tn=
1
2
[(1-
1
7
)+(
1
7
-
1
13
)+…+(
1
6n−5
1
6n+1
)]
=
1
2
(1-
1
6n+1

因为n∈N*,所以
1
6n+1
>0,即Tn=
1
2
(1-
1
6n+1
)<
1
2

又Tn
m
20
对所有n∈N*都成立,
所以
m
20
1
2
,则m≥10,
所以满足条件的最小正整数m为:10.
答案解析:(1)由题意得Sn=3n2-2n,根据“n=1时,a1=S1;n≥2时,an=Sn-Sn-1”,可求数列的通项公式,再证明数列:{an}为等差数列;
(2)由(1)和条件求出bn,利用裂项相消法求出Tn的表达式,再由n的范围求出Tn的范围,根据不等式恒成立求出满足条件的最大正整数m的值.
考试点:数列与不等式的综合;等差数列的性质.
知识点:本题考查了数列an与Sn的关系,等差数列的通项公式,以及恒成立问题转化为求最值问题,注意等价转化思想的合理运用,试题具有一定的综合性.