3^2006-4*3^2005+10*2^2004能被7整除吗
问题描述：
3^2006-4*3^2005+10*2^2004能被7整除吗
答
3^2006-4*3^2005+10*2^2004=9^1003-12*9^1002+10*8^668
≡2^1003-5*2*1002+3*1^668 (mod 7)
≡2*8^334-5*8^334+3 (mod 7)
≡2-5+3 (mod 7)
≡0 (mod 7)
所以能被7整除。
答
3^3=27除以7的余数是－1
所以3^2006＝(3^3)^668*3^2=(28-1)^668*3^2
根据二项式定理得除以7的余数是9
3^2006-4*3^2005＝-3^2005
同理得－3^2005＝－(3^3)^668*3=－(28-1)^668*3
根据二项式定理得除以7的余数是－3
2^2004＝（2^3)^668=(8-1)^668
所以除以7的余数是0
因此3^2006-4*3^2005+10*2^2004除以7的余数是－3，即4
答
应该是3^2006-4*3^2005+10*3^2004
=3^2004(3^2-4*3+10)
=3^2004*7
所以能被7整除