定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒成立．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明f（x）为减函数；若函数f（x）在[-3，3]上总有f（x）≤6成立，试确定f（1）应满足的条件；（3）解关于x的不等式1nf(ax2)−f(x)＞1nf(a2x)−f(a)，（n是一个给定的自然数，a＜0）
问题描述：
定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒成立．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）证明f（x）为减函数；若函数f（x）在[-3，3]上总有f（x）≤6成立，试确定f（1）应满足的条件；（3）解关于x的不等式
f(ax2)−f(x)＞1 n
f(a2x)−f(a)，（n是一个给定的自然数，a＜0） 1 n
答
知识点：本题考查抽象函数的奇偶性和单调性的判断和应用：解不等式，及分类讨论思想，综合性强，难度较大．
（1）由已知对于任意x∈R，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0令x=-y，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=0∴对于任意x，都有f（-x）=-f（x）∴f（x）是奇函数．（2）设任意...
答案解析：（1）令x=y=0求出f（0），再令x=-y即可判断出奇偶性．
（2）利用函数单调性的定义，设任意x1，x2∈R且x1＜x2，结合已知不等式比较f（x1）和f（x2）的大小，即可判断出单调性．
由单调性可求出f（x）在[-3，3]上的最大值为f（-3），已知不等式可转化为f（-3）≤6，再由已知建立f（-1）和f（-3）的联系即可．
（3）
f(ax2)−f(x)＞1 n
f(a2x)−f(a)，∴f（ax2）-f（a2x）＞n[f（x）-f（a）]，由已知得：f[n（x-a）]=nf（x-a）∴f（ax2-a2x）＞f[n（x-a）]，由（2）中的单调性转化为ax2-a2x＜n（x-a）．即（x-a）（ax-n）＜0，按照二次不等式两根的大小进行分类讨论解不等式即可．1 n
考试点：抽象函数及其应用；函数奇偶性的判断；函数恒成立问题．
知识点：本题考查抽象函数的奇偶性和单调性的判断和应用：解不等式，及分类讨论思想，综合性强，难度较大．