若定义在R上的函数f（x）同时满足下列三个条件：①对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）+f（b）成立；②f(4)＝14；③当x＞0时，都有f（x）＞0成立．（1）求f（0），f（8）的值；（2）求证：f（x）为R上的增函数；（3）求解关于x的不等式f(x−3)−f(3x−5)≤12．
问题描述：
若定义在R上的函数f（x）同时满足下列三个条件：
①对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）+f（b）成立；
②f(4)＝
；1 4
③当x＞0时，都有f（x）＞0成立．
（1）求f（0），f（8）的值；
（2）求证：f（x）为R上的增函数；
（3）求解关于x的不等式f(x−3)−f(3x−5)≤
． 1 2
答
（1）令a=b=0得f（0）=0，令a=b=4得f（8）=12；（2）证明：设x1＜x2，则x2-x1＞0，f（x2-x1）＞0；∴f（x2）=f（x1）+f（x2-x1）＞f（x1），∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）为R上的增函数；（3）由已知得f（4）+f（4）...
答案解析：（1）a=b=0可求f（0），再令a=b=4可求得f（8）；
（2）利用单调性的定义，设x1＜x2，结合已知可证得f（x2）＞f（x1），问题得证；
（3）可求得f（8）=
，将原不等式转化为f（x-3）-f（3x-5）=f（2-2x）≤f（8），再利用f（x）为R上的增函数，即可．1 2
考试点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质．
知识点：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的单调性的应用，突出赋值法与转化思想的应用，属于中档题．