n+20 和 n-21都是完全平方数,n=?(1+2x-x^2)^2 的多项式系数和是多少？
问题描述：
n+20 和 n-21都是完全平方数,n=?
(1+2x-x^2)^2 的多项式系数和是多少？
答
设n+20=a^2,n-21=b^2,n、a、b都是正整数。
则有a^2-b^2=(a+b)×(a-b)=41
∵41是质数，且a+b>a-b
∴(a+b)×(a-b)=41×1,
即：a+b=41,a-b=1
联立解得：a=21,b=20
∴n+20=21^2,n-21=20^2
∴n=421
答
(x+y)^2-x^2=41
2xy+y^2=41
y(2x+y)=41
因为41是质数， y=1
x=20
n=20*20+21=421.
．．．．．．．．．．．．．．．
把x=1代入
答
n+20=a^2n-21=b^2其中a和b都大于0两式相减a^2-b^2=41(a+b)(a-b)=41*1因为a+b>a-b,且41是素数,只能分解成41*1所以a+b=41,a-b=1a=21,b=20所以n=a^2-20=b^2+21=421(1+2x-x^2)^2=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e令x=1则系数和=a+b+c...