如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=根号2,AB=1,AD=m,E为BC中点,且∠AEA1恰为二面角A1-ED-A的平面角.(1)求证:平面A1DE⊥平面A1AE(2)求三棱锥E-ADA1的体积

问题描述:

如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=根号2,AB=1,AD=m,E为BC中点,且∠AEA1恰为二面角A1-ED-A的平面角.
(1)求证:平面A1DE⊥平面A1AE
(2)求三棱锥E-ADA1的体积

郭敦顒回答:
没给出图形,自绘了(网络传送时不能显示线条,字符位置也有变).
∵长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=根号2,AB=1,AD=m,E为BC中点,且∠AEA1恰为二面角A1-ED-A的平面角.
∴AE⊥DE,∴∠DAE=∠ADE=∠BAE=∠AEB=∠CED=∠CDE=45°
作EF⊥AD于F,则AF=DF
∴BE=CE=AF=DF=EF=AB=1,
(1)求证:平面A1DE⊥平面A1AE
∵DE在平面A1DE上,AE在平面A1AE上,AEA1恰为二面角A1-ED-A的平面角
∴AE⊥DE,∴平面A1DE⊥平面A1AE
(2)求三棱锥E-ADA1的体积
∵AA1=√2,AD=2AF=2,∴SRt⊿A1AE=(2×√2)/2=√2=
EF是三棱锥E-ADA1的高,EF=1
V E-ADA1=S Rt⊿A1AE×EF/3=√2×1/3=0.4714
D1
C1
D
A1 45° 45° C
F B1 90° 45°
45° 45° E
A
B