如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,AD=2,E为BC的中点 (1)求点A到面A1DE的距离; (2)设△A1DE的重心为G,问是否存在实数λ,使 得AM=λAD且MG⊥平面A1ED同时成立?若存在,求出λ的值;
问题描述:
如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=
,AB=1,AD=2,E为BC的中点
2
(1)求点A到面A1DE的距离;
(2)设△A1DE的重心为G,问是否存在实数λ,使 得
=λAM
且MG⊥平面A1ED同时成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由. AD
答
如图,
(1)由题意求得AE=
,DE=
2
,又AD=2,∴AE2+ED2=AD2,
2
∴AE⊥DE.
又DE⊥AA1,AA1∩AE=A,AA1⊂面A1AE,AE⊂面A1AE,
∴DE⊥面A1AE,∴平面A1AE⊥平面A1ED,
∵A1A=AE=
,
2
取A1E的中点H,AH⊥A1E,AH⊥DE,A1E∩ED=E,A1E⊂面A1DE,
ED⊂面A1DE,
∴AH⊥面A1DE,
AH为点A到面A1DE的距离.
∵AH=1,∴点A到面A1DE的距离为1
(2)在三角形A1ED中,∵H是A1E的中点,G为三角形A1ED的重心,
又∵AH⊥面A1ED,过点G作GM∥AH交AD于M,
则MG⊥A1ED,且AM=
AD,1 3
故存在实数λ=
,使得1 3
=λAM
,且MG⊥平面A1ED同时成立.AD