如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,AD=2,E为BC的中点 (1)求点A到面A1DE的距离; (2)设△A1DE的重心为G,问是否存在实数λ,使 得AM=λAD且MG⊥平面A1ED同时成立?若存在,求出λ的值;

问题描述:

如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=

2
,AB=1,AD=2,E为BC的中点

(1)求点A到面A1DE的距离;
(2)设△A1DE的重心为G,问是否存在实数λ,使 得
AM
=λ
AD
且MG⊥平面A1ED同时成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.

如图,
(1)由题意求得AE=

2
,DE=
2
,又AD=2,∴AE2+ED2=AD2
∴AE⊥DE.
又DE⊥AA1,AA1∩AE=A,AA1⊂面A1AE,AE⊂面A1AE,
∴DE⊥面A1AE,∴平面A1AE⊥平面A1ED,
A1A=AE=
2

取A1E的中点H,AH⊥A1E,AH⊥DE,A1E∩ED=E,A1E⊂面A1DE,
 ED⊂面A1DE,
∴AH⊥面A1DE,
AH为点A到面A1DE的距离.
∵AH=1,∴点A到面A1DE的距离为1
(2)在三角形A1ED中,∵H是A1E的中点,G为三角形A1ED的重心,
又∵AH⊥面A1ED,过点G作GM∥AH交AD于M,
则MG⊥A1ED,且AM=
1
3
AD

故存在实数λ=
1
3
,使得
AM
=λ
AD
,且MG⊥平面A1ED同时成立.