已知函数f(x)=Acos2(ωx+φ)+1(A>0,ω>0)的最大值为3,f(x)的图象在y轴上的截距为2,其相邻两对称轴间的距离为2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=______.

问题描述:

已知函数f(x)=Acos2(ωx+φ)+1(A>0,ω>0)的最大值为3,f(x)的图象在y轴上的截距为2,其相邻两对称轴间的距离为2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=______.

将原函数f(x)=Acos2(ωx+ϕ)+1转化为:f(x)=

A
2
cos(2ωx+2ϕ)+
A
2
+1
相邻两对称轴间的距离为2可知周期为:4,则2ω=
4
=
π
2
,ω=
π
4

由最大值为3,可知A=2
又∵图象经过点(0,2),
∴cos2ϕ=0
∴2φ=kπ+
π
2

∴f(x)=cos(
π
2
x+
π
2
)+2=2-sin(
π
2
x)
∵f(1)=2+1,f(2)=0+2,f(3)=-1+2,f(4)=0+2…
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=200
故答案为:200.
答案解析:先将原函数用降幂公式转化为:f(x)=
A
2
cos(2ωx+2ϕ)+
A
2
+1,求出函数的A,T,ω,通过f(x)的图象在y轴上的截距为2,求出φ,得到函数的表达式,然后求出所求的值.
考试点:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的化简求值.
知识点:本题是基础题,考查三角函数的表达式的求法,函数的值的求法,考查计算能力.