已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x-1）=f（3-x），且方程f（x）=2x有两等根．（1）求f（x）的解析式．（2）求f（x）在[0，t]上的最大值．
问题描述：
已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x-1）=f（3-x），且方程f（x）=2x有两等根．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）在[0，t]上的最大值．
答
知识点：本题考查了待定系数法求解析式，以及分类讨论二次函数在闭区间上的最大值，属于基础题．
（1）∵方程f（x）=2x有两等根，ax2+（b-2）x=0有两等根，∴△=（b-2）2=0，解得b=2，∵f（x-1）=f（3-x），∴x-1+3-x2=1，∴x=1是函数的对称轴，又此函数图象的对称轴是直线x=-b2a，∴-b2a=1，∴a=-1，故f（x）=-x2...
答案解析：（1）首先根据二次函数f（x）=ax2+bx得对称轴为x=-
，再根据f（x-1）=f（3-x）可得对称轴为x=1，∴2a+b=0．根据f（x）=2x有两等根，可得∴△=（b-2）2=0，解得b=2b 2a
（2）求f（x）在[0，t]上的最大值需要对定义域进行讨论：分t＜1和t＞1两种情形．
考试点：二次函数在闭区间上的最值．
知识点：本题考查了待定系数法求解析式，以及分类讨论二次函数在闭区间上的最大值，属于基础题．