求y=x^3 y=-x^2+x+1所围成的图形面积 ,高二数学,用微积分,要过程,速度
问题描述：
求y=x^3 y=-x^2+x+1所围成的图形面积 ,高二数学,用微积分,要过程,速度
答
令x^3=-x^2+x+1，得到x=1或x=-1，即积分区间为[-1,1]
被积函数-x^2+x+1-x^3，对x进行积分，∫(-x^2+x+1-x^3)dx=-1/3*x^3+1/2*x^2+x-1/4*x^4
x=1，-1代入，相减的图形面积为4/3
答
先求交点：
x^3=-x^2+x+1
(x+1)^2(x-1)=0
x=-1, 1
再求面积：
|∫_-1^1 (x^3+x^2-x-1) dx| = |x^4/4+x^3/3-x^2/2-x |_-1^1| = |(1/4+1/3-1/2-1)-(1/4-1/3-1/2+1)| = 4/3.
故为4/3.
答
联立y=x^3,y=-x^2+x+1,解得：x=-1,x=1,
故积分区间为：[-1,1],
在[-1,1]曲线y=-x^2+x+1,高于曲线y=x^3,
所以所围成的图形面积
=∫[-1,1]（-x^2+x+1-x^3）dx=(-1/3*x^3+2x^2+x-1/4*x^4) |[-1,1]
=29/12-13/12=4/3.