已知函数f(x)=mx^3-x的图像上、以(1,n)为切点的切线的倾斜角为45度.
已知函数f(x)=mx^3-x的图像上、以(1,n)为切点的切线的倾斜角为45度.
(1)求m、n的值
（2）是否存在最小的正整数K,使得不等式f（x）＜=k-1992对于x∈[-1,3]恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k,如果不存在,请说明理由.
（3）求证|f（sinx）+f（cosx）|＜=2f（t+1\2t） ,（x∈R,t＞0）
非常急、越快越好、
（1）f'(x)=3mx^2-1
f'(1)=3m-1=1
∴m=2/3
f(1)=m-1=n
∴n=-1/3
（2）f(x)=(2/3)x^3-x
f'(x)=2x^2-1
f'(x)=0的两根是x=±√2/2
所以当x＜-√2/2或x＞√2/2时,f'(x)＞0,f(x)单调递增.
当-√2/2＜x＜√2/2时,f'(x)＜0,f(x)单调递减.
在区间[-1,3]内,作如下讨论：
x∈[-1,-√2/2)时,f(x)单调递增.
f(x)＜f(-√2/2)=√2/3
x∈[-√2/2,√2/2)时,f(x)单调递减.
f(x)＜f(-√2/2)=√2/3
x∈[√2/2,3]时,f(x)单调递增.
f(x)＜f(3)=15
综上,f(x)在[-1,3]上的最大值为15
当k-1992≥15时,不等式恒成立.
k的最小值为2007.
（3）t+1/2t≥2√(t*1/2t)=√2
当x≥√2时,函数f(x)单调递增.
∴f(t+1/2t)≥f(√2)=√2/3
-f(t+1/2t)≤-f(√2)=-√2/3
-1≤sinx≤1
所以,可求得,
f(sinx)的最大值为f(-√2/2)=√2/3=f(√2)
f(-sinx)的最大值也为f(-√2/2)=√2/3=f(√2)
同理
f(cosx)与f(-cosx)的最大值均为f(-√2/2)=√2/3=f(√2)
即,f(sinx)≤f(√2)
f(-sinx)≤f(√2)
f(cosx)≤f(√2)
f(-cosx)≤f(√2)
∴f(sinx)+f(cosx)-2f(√2)≤0
∴f(sinx)+f(cosx)≤2f(√2)≤f(t+1/2t)
又2f(√2)-f(-sinx)-f(-cosx)≥0
f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)
∴2f(√2)+f(sinx)+f(cosx)≥0
-2f(√2)≤f(sinx)-f(cosx)
所以,命题得证.