已知△ABC中∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC． （Ⅰ）求证：AD⊥面SBC； （Ⅱ）若BC=1，∠ABC=60°，SA=AB，求AB与平面SBC所成角的正弦值．
问题描述：
已知△ABC中∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC．
（Ⅰ）求证：AD⊥面SBC；
（Ⅱ）若BC=1，∠ABC=60°，SA=AB，求AB与平面SBC所成角的正弦值．
答
（I）∵SA⊥面ABC，BC⊂面ABC，∴BC⊥SA
∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC、SA是面SAC内的相交直线，
∴BC⊥面SAC
又∵AD⊂面SAC，∴BC⊥AD，
又∵SC⊥AD，且BC、SC是面SBC内的相交直线，
∴AD⊥面SBC；
（II）连结BD
∵AD⊥面SBC，∴BD是AB在平面ADC内的射影，可得∠ABD就是AB与平面SBC所成角
∵Rt△ABC中，BC=1，∠ABC=60°，∴AB=
=2，BC cos60°
又∵Rt△ASB中，SA=AB，∴SB=
AB=2
2
2
因此，Rt△SBC中，SC=
=3，得中线BD=
SB2+BC2
SC=1 2
3 2
Rt△ABD中，cos∠ABD=
=BD AB
，得sin∠ABD=3 4
=
1-cos2∠ABD
7
4
即AB与平面SBC所成角的正弦值是
．
7
4