在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a． （1）求a的值； （2）求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．
问题描述：
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．
（1）求a的值；
（2）求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．
答
（1）∵BC∥B1C1，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，
即∠A1BC=60°，（2分）
连接A1C，又AB=AC，则A1B=A1C∴△A1BC为等边三角形，（4分）
由AB=AC=1，∠BAC=90°⇒BC=
，
2
∴A1B=
⇒
2
=
1+a2
⇒a=1；（6分）
2
（2）取A1B的中点E，连接B1E，过E作EF⊥BC1于F，
连接B1F，B1E⊥A1B，A1C1⊥B1E⇒B1E⊥平面A1BC1⇒B1E⊥BC1
又EF⊥BC1，所以BC1⊥平面B1EF，即B1F⊥BC1，
所以∠B1FE就是平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的平面角．（8分）
在△B1EF中，∠B1EF=90°，B1E=
，B1F=
2
2
，∴sin∠B1FE=1×
2
3
=
B1E
B1F
⇒∠B1FE=60°，（10分）
3
2
因此平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小为60°．