设CD是三角形ABC的边AB的高,且CD2=AD×BD,求证：∠ACB=90°
问题描述：
设CD是三角形ABC的边AB的高,且CD2=AD×BD,求证：∠ACB=90°
答
证明：在三角形ADC与三角形BDC中
∵CD是三角形ABC的边AB的高
∴∠ADC=∠BDC=90度 ①
又 CD^2=AD×BD
即 CD/AD=BD/CD ②
由①②得 三角形ADC∽三角形BDC(两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹
角相等,那么这两个三角形相似)
∴∠ACD=∠DBC ③ ∠BCD=∠CAD ④
③+④得 ∠ACD+∠BCD=∠DBC+∠CAD
即 ∠ACB=∠DBC+∠CAD ⑤
∵三角形三个内角和等于180°
∴∠ACB+∠DBC+∠CAD=180° ⑥
由⑤⑥得 2∠ACB=180°
∴∠ACB=90°