如图,PA、PB与⊙O切于A、B两点,PC是任意一条割线,且交⊙O于点E、C,交AB于点D. 求证:AC2BC2=AD/BD.

问题描述:

如图,PA、PB与⊙O切于A、B两点,PC是任意一条割线,且交⊙O于点E、C,交AB于点D.
求证:

AC2
BC2
AD
BD

如图,连接AE、BE,
由弦切角定理可知,∠PCA=∠PAE,
则△PAC∽△PEA,得

AC
AE
=
PC
PA

同理,
BC
BE
=
PC
PB

∵PA=PB,
AC
AE
=
BC
BE

AC
BC
=
AE
BE

在⊙O中,由△ACD∽△EBD,△AED∽△CBD,
可得
AC
BE
=
AD
ED

AE
BC
=
ED
BD

从而
AC
BC
AE
BE
=
AD
BD

AC2
BC2
=
AD
BD