已知:如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G.(1)求证:△DFB≌△DAC;(2)求证:CE=12BF.

问题描述:

已知:如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G.

(1)求证:△DFB≌△DAC;
(2)求证:CE=

1
2
BF.

(1)证明:∵CD⊥AB,∠ABC=45°,
∴△BCD是等腰直角三角形.
∴BD=CD.
∵∠DBF=90°-∠BFD,∠DCA=90°-∠EFC,且∠BFD=∠EFC,
∴∠DBF=∠DCA.
在Rt△DFB和Rt△DAC中,

∠BDF=∠CDA
∠A=∠DFB
BD=DC

∴Rt△DFB≌Rt△DAC(AAS).
(2)证明:∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
在Rt△BEA和Rt△BEC中,
∠AEB=∠CEB
BE=BE
∠ABE=∠CBE

∴Rt△BEA≌Rt△BEC(ASA).
CE=AE=
1
2
AC

又由(1),知BF=AC,
CE=
1
2
AC=
1
2
BF

答案解析:(1)根据三角形的内角和定理求出∠A=∠DFB,推出BD=DC,根据AAS证出△BDF≌△CDA即可;
(2)推出∠AEB=∠CEB,∠ABE=∠CBE,根据ASA证出△AEB≌△CEB,推出AE=CE即可.
考试点:全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
知识点:本题考查了三角形的内角和定理,等腰三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定的应用,关键是推出△BDF≌△CDA和△AEB≌△CEB,题目综合性比较强.