若圆x^2+y^2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2sqrt(2),求直线l倾斜角的取值范围
问题描述：
若圆x^2+y^2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2sqrt(2),求直线l倾斜角的取值范围
答
如果直线在圆外,则到直线的距离相等的点有2个或者1个,舍去
如果直线在圆上,即相切,则到直线距离相等的点有2个或者1个,舍去
所以直线穿过圆.
圆的方程为(x-2)²+(y-2)²=(3√2)²
即圆心在(2,2),半径为3√2
为了保证至少有3个不同的点到直线的距离为2√2
则圆心到直线的距离小于等于3√2-2√2=√2
当a=0时,则b≠0,则圆心到直线l的距离为2-0=2＞√2,舍去
当a≠0时,令k=b/a,则直线为x+ky=0
则圆心到直线l的距离为|2+2k|/√(1²+k²)≤√2
即√2|1+k|≤√(1+k²)
即2+2k²+4k≤1+k²
即k²+4k+1=(k+2)²-3≤0
即(k+2)²≤3
即-2-√3≤k≤-2+√3
设倾斜角为θ
则tan(7π/12)=-2-√3≤tanθ≤-2+√3=tan(11π/12)
即7π/12≤θ≤11π/12
∴直线l的倾斜角的取值为[7π/12,11π/12]