怎样证明圆心到对角线互相垂直的圆内接四边形的一边的距离与对边的一半相等?
问题描述：
怎样证明圆心到对角线互相垂直的圆内接四边形的一边的距离与对边的一半相等?
答
设圆O内接四边形ABCD，则AC⊥BD。设AC、BD相交于F，OE⊥CD于E
ΔABF与ΔDCF相似⇒AB/CD=BF/FC
∠DBC=∠DOC/2=∠EOC⇒ΔBFC与ΔOEC相似⇒BF/FC=OE/EC
综上，AB/CD=OE/EC
所以 OE=EC*AB/CD=AB*(EC/CD)=AB/2
答
设ABCD中,AC⊥BD,则弧AB+弧CD=180°
设圆心为O,O到AB的垂线为OM,垂足为M
O到CD的垂足为N,
则圆心角AOM+DON=90°
∵∠AOM+∠OAM=90°
∴∠OAM=∠DON
∵OA=OD
∴直角三角形AOM≌DON
∴OM=DN,AM=ON