a>0 b>0 a+b=1请用柯西不等式证明 (a+1/a)∧2 +(b+1/b)∧2大于等于25/2 打掉了 不好意思哦
问题描述:
a>0 b>0 a+b=1请用柯西不等式证明 (a+1/a)∧2 +(b+1/b)∧2
大于等于25/2 打掉了 不好意思哦
答
用柯西不等式:2(a²+b²) = (a²+b²)+(a²+b²) ≥ (a+b)² = 1 ,所以 a²+b² ≥ 1/2 ;
(a+b)² = a²+b²+2ab ≥ 2ab+2ab = 4ab ,
所以,1/ 4 ≥ ab 即1/ ab ≥4
(a+1/a)²= a²+1/a²+2 (b+1/b)²=b²+1/b²+2
所以,原式= a²+b²+1/a²+1/b²+4
= (a²+b²)+(a²+b²)/(ab)²+4
≥ 1/2+(1/2)*4²+4 = 25/2