在圆O中,弦AB=AC,角BAC=60度,D是弧BC上任意一点,若AD=2求四边形ABCD的面积．
问题描述：
在圆O中,弦AB=AC,角BAC=60度,D是弧BC上任意一点,若AD=2求四边形ABCD的面积．
答
延长CD于E,使DE=EA,则三角形ADE为正三角形.连接AE.再过C作平行线CF交AD于F,同样,三角形DCF为正三角形.又过C作平行线CG平行于AD交AE于G,CG=GE,那么四边形CGAF是平行四边形,DF=CD,设AB=AC=BA=a(因为三角形ABC是正三角形)
又由托勒密定理可得a×CD+a×BD=2a,即CD+BD=2=DF+BD=AD,则BD=AF=CG=CE,
AE=AD,CA=AB,那么三角形ACE与三角形ADB全等,
则四边形ABCD的面积等于三角形ADE的面积
而三角形ADE的面积为S=0.5×AD×AE×sin60=0.5×2×2×(√3/2)=√3,所以四边形的面积为根号3
答
先设D在AO的延长线上,所以AD平分角BAC,
所以角BAD=30度
又因为AD=2
所以BD=1
AB=根号3
所以S三角形ABD=根号3/2
同理可得,S三角形ADC=根号3/2
所以S四边形ABCD=根号3