已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{1f(n)}的前n项和为Sn，则S2009的值为（ ）A. 20072008B. 20092010C. 20082009D. 20102011
问题描述：
已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{
}的前n项和为Sn，则S2009的值为（ ）1 f(n)
A.
2007 2008
B.
2009 2010
C.
2008 2009
D.
2010 2011
答
∵函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，
由f（x）=x2+bx求导得：f′（x）=2x+b，
由导函数得几何含义得：f′（1）=2+b=3⇒b=1，∴f（x）=x2+x
所以f（n）=n（n+1），∴数列 {
}的通项为 1 f(n)
=1 f(n)
=1 n(n+1)
−1 n
，1 n+1
所以
的前n项的和即为Tn，1 f(n)
则利用裂项相消法可以得到：Tn＝(1−
)+(1 2
−1 2
)+(1 3
+1 3
)+…+(1 4
−1 n
)=1-1 n+1
1 n+1
所以数列的前2009项的和为：T2009=1-
=1 2010
．2009 2010
故选B．
答案解析：因为的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，所以利用导函数的几何含义可以求出b=1，所以数列 {
}的通项公式可以具体，进而由数列的通项公式选择求和方法即可求解．1 f(n)
考试点：数列的求和；利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的应用．
知识点：此题考查了导函数的几何含义及方程的思想，还考查了利用利用裂项相消法求数列的前n项和的方法．