已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x-y+2=0平行,若数列{1f(n)}的前n项和为Sn,则S2009的值为(  ) A.20072008 B.20092010 C.20082009 D.20102

问题描述:

已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x-y+2=0平行,若数列{

1
f(n)
}的前n项和为Sn,则S2009的值为(  )
A.
2007
2008

B.
2009
2010

C.
2008
2009

D.
2010
2011

∵函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x-y+2=0平行,
由f(x)=x2+bx求导得:f′(x)=2x+b,
由导函数得几何含义得:f′(1)=2+b=3⇒b=1,∴f(x)=x2+x
所以f(n)=n(n+1),∴数列 {

1
f(n)
}的通项为
1
f(n)
=
1
n(n+1)
=
1
n
1
n+1

所以
1
f(n)
的前n项的和即为Tn
则利用裂项相消法可以得到:Tn=(1−
1
2
)+(
1
2
1
3
)+(
1
3
+
1
4
)+…+(
1
n
1
n+1
)
=1-
1
n+1
  
所以数列的前2009项的和为:T2009=1-
1
2010
=
2009
2010

故选B.