设实数A,B,C成等比数列,非零实数X,Y分别为A与B,B与C的等差中项,求证:A/X+C/Y=2.

问题描述:

设实数A,B,C成等比数列,非零实数X,Y分别为A与B,B与C的等差中项,求证:A/X+C/Y=2.

证明:由题意得:B^2=AC
2X=A+B,2Y=B+C
所以,X=(A+B)/2. Y=(B+C)/2
所以, A/X+C/Y=A除以(A+B)/2 +C除以(B+C)/2
=2A/(A+B)+2C/(B+C)
=(4B^2+2AB+2BC)/(2B^2+AB+BC)
=2
证毕 .
(注:B^2指B的平方)

依题有B*B=AC 2X=A+B,2Y=B+C
则A/X+C/Y=2A/(A+B)+2C/(B+C)
=2AB/(A*B+B*B)+2C/(B+C)
=2AB/(A*B+A*C)+2C/(B+C)
=2B/(B+C)+2C/(B+C)
=2(B+C)/(B+C)
=2
证明完毕