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在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若a=1，且2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是（　　）A. （1，3]B. [2，4]C. （2，3]D. [3，5]

分类: 作业答案 • 2022-06-10 10:49:44
问题描述：

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若a=1，且2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是（　　）
A. （1，3]
B. [2，4]
C. （2，3]
D. [3，5]

答

△ABC中，由余弦定理可得：2cosC=

a2+b2−c2
2ab
，
∵a=1，2cosC+c=2b，
∴
1+b2−c2
b
+c=2b，化简可得：（b+c）2-1=3bc，
∵bc≤（
b+c
2
）2，
∴（b+c）2-1≤3×（
b+c
2
）2，
解得：b+c≤2（当且仅当b=c时，取等号）．
∴a+b+c≤3，
再由任意两边之和大于第三边可得：b+c＞a=1，
故有a+b+c＞2，
则△ABC的周长的取值范围是（2，3]，
故选：C．
答案解析：由余弦定理求得 cosC，代入已知等式可得（b+c）2-1=3bc，利用基本不等式求得 b+c≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周长的取值范围．
考试点：余弦定理．
知识点：此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

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