过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交AB、CD于E、F两点,点G为AE的中点,若∩AOG=30°,求证：OG=1/3AB
问题描述：
过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交AB、CD于E、F两点,点G为AE的中点,若∩AOG=30°,求证：OG=1/3AB
答
证明：
由EF⊥AC可知△AOE是直角三角形
由直角三角形的斜边中线定理，可知OG=AG=GE
所以∠BAC=∠AOG=30°，∠AEO=60°，∠GOE=∠AOE-∠AOG=60°
△OEG是正三角形，OG=OE=GE
△ABC也是直角三角形
连接OB，同样有OA=OB=OC，所以∠ABO=∠BAC=30°
那么∠AOB=180°-30°-30°=120°，∠BOE=∠AOB-90°=30°
所以△OEB是等腰三角形，OE=EB
所以：OG=AG=GE=EB=OE
所以：OG=AB/3
答
∵∠AOE=90度,点G为AE的中点,
∴OG=AE/2＝AG＝GE (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
∴∠OAG=∠AOG=30°,∠AOE=∠OGE=60°
∵连结BO,∠OBA=∠OAB=30°,∠OGB=60°
∴OG=BE=EB,OE=BG/2=EG
∴OG=AG=GE=EB
∴OG=AB/3