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求抛物线y2=2px及其在点(p2，p)处的法线所围成的图形的面积．

分类: 作业答案 • 2022-06-07 15:27:32
问题描述：

求抛物线y2=2px及其在点(

p
2
，p)处的法线所围成的图形的面积．

答

根据题意画出图形，
先求出曲线在该点的导数值，
2yy′=2p，y′=1，
写出法线方程：y-p=-（x-

1
2
p），y=-x+
3
2
p，
解出曲线与法线相交的另一点坐标，
y＝−x+
3
2
p
y2＝2px

解得为(
9
2
p，−3p)．
再算二重积分即面积：
S=
∫
p
−3p
dy
∫
3
2
p−y
y2
2p
dx
=
∫
p
−3p
(
3
2
p−y−
y2
2p
)dy
=
16
3
p2．
答案解析：第一步，算出导数值；
第二步，写出法线方程；
第三步，算出二重积分即面积．
考试点：平面图形面积的计算．
知识点：本题属于导数几何意义的考察和二重积分的计算．

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