如图所示,等边三角形CEF的边长与菱形ABCD的边长相等.(1)求证:∠AEF=∠AFE;(2)求∠B的度数.

问题描述:

如图所示,等边三角形CEF的边长与菱形ABCD的边长相等.

(1)求证:∠AEF=∠AFE;
(2)求∠B的度数.

(1)证明:∵等边三角形CEF的边长与菱形ABCD的边长相等,
∴BC=CE,
∴∠B=∠BEC.
同理∠D=∠CFD,
又∵∠B=∠D,
∴∠BEC=∠CFD.
∵EC=FC,
∴∠CEF=∠CFE.
∵∠BEC+∠CEF+∠AEF=∠CFD+∠CFE+∠AFE=180°,
∴∠AEF=∠AFE.
(2)连接AC,
设∠BCE=y,∠B=x,△CEF是等边三角形,
∴∠ECF=60°,又根据对称性得到CA为∠ECF的平分线,
因而∠ACE=30°,
∴在△ABC和△BCE中,根据三角形内角和定理分别得到方程组

2(30+y)+x=180
2x+y=180

解得
x=80
y=20

则∠B的度数是80°.
答案解析:本题中比较多的条件是相等的线段,出现了较多的等腰三角形.
(1)根据等腰三角形的性质可以得到∠B=∠BEC,∠D=∠CFD,∠CEF=∠CFE.因而就可以证明:∠AEF=∠AFE.
(2)连接AC,设∠BCE=y,∠B=x,根据三角形内角和定理得到方程组
2(30+y)+x=180
2x+y=180
,求解即可.
考试点:菱形的性质;等腰三角形的性质.

知识点:本题运用了等腰三角形的性质,根据三角形三角和定理,可以把问题转化为方程组的问题.